5.3. Функциональные цифроаналоговые преобразователи

Цифроаналоговые преобразователи (ЦАП) широко применяются для преобразования сигналов в информационно-измерительной технике, радиотехнике и приборостроении. Они являются мощным средством увеличения точности отсчета. Однако существующие ЦАП могут выполнять только линейное преобразование вида U_вых=N´U_оп. В то же время в различных областях техники необходимо с высокой точностью воспроизводить нелинейные функциональные зависимости. Например, такая необходимость возникает при построении цифроуправляемых фазовращателей и калибраторов фазы, так как зависимость фазового сдвига от изменения регулируемой величины всегда нелинейна. Наиболее предпочтительный способ для осуществления этой операции – использование ЦАП. Аналогичная задача встречается в радиотехнике при компандировании сигнала.

Для воспроизведения нелинейных функциональных зависимостей и моделирования их с помощью линейных ЦАП можно использовать кусочно-линейную аппроксимацию и аппроксимацию степенными рядами. Каждый из упомянутых видов аппроксимации предполагает свой способ аппаратной реализации. Однако оба способа для увеличения дискретности воспроизводимой функции используют стандартные многоразрядные ЦАП.

Рассмотрим первый способ, в котором применяется линейная аппроксимация воспроизводимой функциональной зависимости y= f(x) в интервале [a+i(b-a)/n, a+(i+1)(b-a)/n]. Здесь [a, b] - отрезок, который разбивается на интервалы, (b-a)/n – величина интервала аппроксимации функциональной зависимости f(x), i=0, 1, 2, ..., n-1 (i - номер интервала аппроксимации, n - число отрезков аппроксимации зависимости f(x)). Полагаем, что на отрезке аппроксимации функция неотрицательна, хотя данный способ может быть расширен и на отрицательные значения функции.

В качестве многоразрядного линейного ЦАП необходимо выбрать любой умножающий ЦАП с постоянным входным сопротивлением R₀. Например, ЦАП, построенный на резисторной матрице R-2R и управляемый двоичным кодом, или делитель напряжения с шунтирующими декадами, управляемый десятичным кодом.

На рис. 5.15 приведена схема, иллюстрирующая применение линейной аппроксимации для воспроизведения функциональной зависимости f(x).

Рис. 5.15. Функциональный цифроаналоговый преобразователь

Значения сопротивлений R_1i, R_2i, R₀ связаны между собой соотношениями:

, .

Напряжения в схеме рис. 5.15 будут распределяться следующим образом:

,  

где U - напряжение, подводимое к нелинейному ЦАП.

С помощью линейного ЦАП выходное напряжение U_вых изменяется от величины  до , приближенно воспроизводя в i-ом интервале зависимость f(x) c заданным шагом квантования. Для изменения интервала регулирования функциональной зависимости f(x) (старший разряд нелинейного ЦАП) используется ключ П (рис. 5.15).

Естественно, что при таком построении функционального ЦАП последний имеет методическую погрешность, вызванную линейной аппроксимацией функциональной зависимости f(x) в интервале [ , ]. Эта погрешность определяется выражением

,

где y_1i - уравнение прямой, аппроксимирующей зависимость f(x) в интервале [ , ]. Введем обозначение , тогда уравнение прямой запишется в виде:

.

Здесь £ x £ . Методическая погрешность воспроизведения функции f(x) будет зависеть в первую очередь от ее вида и выбранного отрезка аппроксимации, а также от номера и количества участков аппроксимации.

Нелинейные ЦАП, аппроксимирующие функции sinj и cosj, широко применяются при построении калибраторов фазы и фазовращателей (синусно-косинусные потенциометрические фазовращатели), в которых для формирования напряжения выхода реализуется соотношение:

.

Пример.

         В качестве примера рассмотрим построение функционального цифроаналогового преобразователя – дискретного аналога синусно-косинусного потенциометра.

Известные синусно-косинусные потенциометры нашли применение в радиотехнике, информационно-измерительной технике. Они используют профилированную намотку провода и имеют скользящий контакт, что нетехнологично, не позволяет получить хорошие метрологические характеристики и не дает возможность применить их в микроэлектронике.

Выполнение синусно-косинусного потенциометра из набора резисторов и ключей привело бы к необходимости применения большого количества резисторов разных номиналов и ключей. Так, для дискретного потенциометра, воспроизводящего синусную зависимость сопротивления от изменения входного кода в диапазоне от 0 до 90° и дискретностью 0.1°, потребовалось бы 900 резисторов и 901 ключ.

Вполне очевидно, что подобные дискретные синусные потенциометры очень громоздки и, кроме того, при такой реализации синусного потенциометра невозможно производить поразрядное регулирование воспроизводимой функциональной зависимости.

От этих недостатков свободна схема, приведенная на рис. 5.16, построенная на базе нелинейного ЦАП — цифро-аналогового преобразователя, воспроизводящего нелинейную зависимость sinj.

Рис. 5.16. Функциональный ЦАП - дискретный аналог синусного потенциометра

С помощью сдвоенного ключа линейный многоразрядный ЦАП, подключается к резисторам R_1i и R_2i - и образует преобразователь, моделирующий зависимость sinj в интервале от ip/2n до (i+1)p/2n. Здесь p/2n - интервал аппроксимации функциональной зависимости sinj,   i=0,1,2,...,n-1 (i-номер интервала аппроксимации, n-число отрезков аппроксимации зависимости sinj  в интервале от 0 до p/2 ). В качестве многоразрядного линейного ЦАП можно использовать любой ЦАП с постоянным входным сопротивлением R₀.

Значения сопротивлений R_1i, R_2i, R₀ определяются из соотношений:

Напряжения в схеме рис. 5.16 будут распределяться следующим образом:

,                                            

 где U- напряжение, подводимое к дискретному аналогу синусного потенциометра – функциональному ЦАП.

С помощью линейного ЦАП выходное напряжение Uвых изменяется от величины  до , приближенно воспроизводя в i-ом интервале зависимость sinj необходимым числом разрядов. Для изменения интервала регулирования функциональной зависимости sinj (старший разряд нелинейного ЦАП) используется ключ П (рис. 5.16).

Естественно, что при таком построении дискретного аналога синусного потенциометра последний имеет методическую погрешность, вызванную линейной аппроксимацией зависимости sinj в интервале [ip/2n, (i+1)p/2n]. Эта погрешность определяется выражением

,

где y_1i - уравнение прямой , аппроксимирующей зависимость sinj в интервале [ip/2n, (i+1)p/2n]:

.               

Здесь ip/2n £ j £ (i+1)p/2n.

На рис. 5.17 приведена зависимость методической погрешности воспроизведения зависимости sinj внутри интервала аппроксимации (D) для n=9. В этом случае старший разряд регулирования фазового сдвига составляет 10° . Для удобства введена новая переменная k из соотношения

j = (i+k)×p/2n.   Здесь 0 £ k £ 1.

Рис. 5.17 Распределение методической погрешности дискретного аналога синусного потенциометра внутри интервалов аппроксимации (n=9).

Наибольший интерес представляет максимальная погрешность, получаемая при аппроксимации последнего интервала зависимости sinj. В табл. 5.4 приведены максимальные величины погрешности в зависимости от числа интервалов аппроксимации.

Таблица 5.4.

Так, в случае n=9, она составляет величину менее 0,4 %, что может быть приемлемо для многих практических применений.

В случае одновременного использования синусного и косинусного преобразователей, как это сделано в работе для построения фазовращателя, методическая погрешность воспроизведения фазового сдвига получается небольшой, поскольку погрешности преобразователей имеют один знак. Так, при подекадном регулировании фазового сдвига (n=9) методическая погрешность, вызванная аппроксимацией зависимостей sinj и cosj , составляет всего полминуты.

Дискретный аналог синусного потенциометра (рис. 5.16) дает возможность изменять зависимость sinj в пределах одного квадранта. Все эти же элементы используются и для регулирования зависимости sinj во всех четырех квадрантах, но в третьем и четвертом квадрантах для получения отрицательных величин используется инвертор или  во входной цепи (инвертируется входное напряжение), или в выходной цепи (инвертируется выходное напряжение). Кроме того, все элементы схемы рис. 5.16 применяются и для построения дискретного аналога косинусного потенциометра, поскольку cosj=sin(p/2+j). Таким образом, схема, приведенная на рис. 5.16, может почти полностью обеспечить одновременное моделирование и синусного, и косинусного преобразователей.

            Рассмотренный способ применим для построения цифроуправляемых потенциометрических и мостовых фазовращателей.